Onko numeroita todella olemassa? Filosofiaa, historiaa ja formaalia rakennetta

Kotisivu » Kulttuuri » Onko numeroita todella olemassa? Filosofiaa, historiaa ja formaalia rakennetta

Kun käytämme numeroita ajan kertomiseen, supermarketissa maksamiseen tai pankkitilisi saldon tarkistamiseen, pidämme niitä itsestäänselvyyksinä, aivan kuin ne olisivat yhtä todellisia kuin kotiavaimemme. Mutta jos ajattelemme asiaa tarkemmin, asiat mutkistuvat: Missä mielessä numerot todella "ovat olemassa"?Ovatko ne jotain, minkä löydämme, kuten planeetat, vai jotain, minkä keksimme, kuten romaanin hahmot?

Tämä keskustelu yhdistää filosofian, historian ja matematiikan varsin kiehtovalla tavalla. Vuosisatojen ajan on ehdotettu erilaisia ​​vastauksia: niiltä, ​​jotka uskovat numeroiden olevan osa eräänlaista meistä riippumatonta "abstraktia maailmaa", niihin, jotka väittävät, että ne eivät ole muuta kuin symbolisia työkaluja, jotka olemme luoneet laskemiseen, mittaamiseen ja päättelyyn. Matkan varrella esiin nousevat sellaiset ideat kuin Peanon aksioomat, joukko-oppi, luonnollisten lukujen, kokonaislukujen, rationaalilukujen, irrationaalilukujen ja reaalilukujen formaali konstruktio ja jopa Gödelin löytämät kuuluisat rajoitukset.

Mitä tarkoittaa, että numero on "olemassa"?

Ennen kuin syvennymme kaavoihin ja aksioomoihin, on syytä selventää, mitä ihmettä tarkoitamme "olemassaololla". Pöydän olemassaolo ei ole sama asia kuin Sherlock Holmesin olemassaolo tai... luku kuten 24Pöytä on fyysinen esine; Holmes on fiktiivinen mutta hyvin määritelty hahmo; 24 taas ei vie tilaa, ei paina mitään, eikä sitä voida säilyttää laatikossa.

Yksi Platonin lähestymistapa asiaan väittää, että luvut ovat abstraktit oliot, jotka elävät ei-fyysisessä ympäristössäNe eivät ole tehty aineesta, mutta ne ovat yhtä "todellisia" kuin oikeudenmukaisuus tai kauneus platonilaisessa filosofiassa. Tästä näkökulmasta matemaatikot eivät keksi numeroita, vaan pikemminkin löytävät ne: luku 24 oli "siellä", vaikka kukaan ei ollut ajatellut sitä.

Muut filosofit ja matemaatikot väittävät jotain muuta: numerot mieluummin symboleja ja käsitteellisiä rakenteita, joita kehitämme mallintaakseen maailmaa. Ne eivät olisi olemassa teorioidemme ja käytäntöjemme ulkopuolella, vaikka kun nuo säännöt on vakiinnutettu, matemaattiset tulokset olisivat niin jäykkiä kuin haluaisimme. Tässä lähestymistavassa luku 24 on sopimamme symboli- ja operaatiojärjestelmän tulos, ei osa itsenäistä matemaattista universumia.

On myös mielenkiintoisia välivaiheen ehdotuksia: jotkut kirjoittajat väittävät, että luku on eräänlainen abstrakti objekti, jolla on ominainen ominaisuus "jos se voisi olla olemassa, se olisi olemassa"Toisin sanoen käsitteen tarvitsee vain olla mahdollinen ja hyvin määritelty voidakseen sillä olla tietynlainen looginen tai matemaattinen olemassaolo. Tämä puhetapa mahdollistaa meille lukujen lisäksi myös joukkojen, pinta-alojen, funktioiden, geometristen kuvioiden ja monien muiden matematiikassa päivittäin käyttämiemme olioiden sisällyttämisen.

Kummastakin näkökulmasta katsottuna taustalla oleva ongelma on samanlainen: Miten numeron olemassaolo eroaa fiktiivisen hahmon olemassaolosta?Kaikki tietävät, mikä numero 5 on ja kuka Sherlock Holmes on, mutta emme liitä heitä samanlaiseen todellisuuteen. Keskustelu, joka ei ole läheskään ratkaistu, herättää yleensä enemmän kysymyksiä kuin se vastaa.

Numerot, symbolit ja merkitys: mikä on "2" oikeasti?

Jos riisumme pois itsestäänselvyytenä pitämämme ja tarkastelemme numeroita objektiivisesti, ensimmäinen asia, jonka näemme, on kirjoitetut symbolit tai äänet lausuttaessaPaperille kirjoittamamme "2", ääneen sanomamme "kaksi" tai roomalainen "II" eivät ole itse luku, vaan niiden esitystapoja.

Symboli itsessään on yksinkertainen viiva tai ääni ilman sisältöä. Merkityksen sille antaa työehtosopimus: päätimme, että tämä viiva edustaa määrää, järjestystä, mittaaAivan kuten aakkosten kirjaimet, jotka eivät itsessään tarkoita mitään, vaan muodostavat yhteen sanoja, jotka yhdistämme ideoihin, asioihin tai tekoihin.

Tämä symbolinen näkökulma paljastaa jotain tärkeää: Numeroiden konkreettisessa muodossa ei ole mitään "maagista"Voisimme käyttää täysin erilaisia ​​symboleja, ja niin kauan kuin sopisimme samoista säännöistä ja merkityksistä, matematiikka toimisi edelleen. Itse asiassa historian aikana on ollut monia lukujärjestelmiä, joissa on täysin erilaiset symbolit ja säännöt, ja silti niitä kaikkia on käytetty laskemiseen, mittaamiseen ja laskemiseen.

Numeroiden jokapäiväinen käyttö on kuitenkin paljon muutakin kuin pelkkä niiden kirjoittaminen muistiin: Numeroiden voima tulee ilmeiseksi, kun työskentelemme niiden kanssa.Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, potenssiin korottaminen… Kaikkien näiden operaatioiden avulla voimme mallintaa todellisia ilmiöitä: kakun jakamisesta GPS-navigointijärjestelmän suunnitteluun tai rokoteannoksen laskemiseen.

Juuri siksi, että lähes kaikki moderni teknologia perustuu matematiikkaan, matemaatikot joutuivat, erityisesti 1800-luvulta lähtien, määritellä mahdollisimman tarkasti, mitä he ymmärsivät "numerolla"Pelkkä "se on se, mitä käytämme laskemiseen" sanominen ei riittänyt; tarvittiin muodollinen määritelmä ristiriitojen välttämiseksi ja koko teorian rakentamiseksi varmuudella.

Onko olemassa äärettömiä lukuja, vai eikö sekään ole niin selvää?

Yksi hämmentävimmistä kysymyksistä numeroiden olemassaoloa käsiteltäessä on se, äärettömyyden teemaOlemme tottuneet sanomaan, että luonnollisia lukuja on äärettömän monta: 0, 1, 2, 3… ja niin edelleen. Mutta jos hyväksymme tämän, herää joitakin mielenkiintoisia kysymyksiä.

Esimerkiksi: jos ajattelemme "kaikkien lukujen joukkoa" ja haluamme valita yhden "satunnaisesti", mikä on todennäköisyys saada luku 5? Intuitiivisesti voisimme sanoa jotain tällaista 1 jaettuna äärettömyydellä, mikä näyttäisi nollaltaJa jos todennäköisyys on nolla, saattaisi olla houkutus sanoa, että luku 5 "ei esiinny" tuossa joukossa, mikä kuulostaa absurdilta, koska luku 5 on selvästi siellä.

Tämäntyyppinen päättely havainnollistaa ristiriitaa äärettömyyttä koskevien arkipäiväisten intuitioiden ja tarkka tapa, jolla todennäköisyyttä ja äärettömiä joukkoja käsitellään matematiikassaMittausteoriassa ja todennäköisyyslaskennassa se, että jokin on todennäköisyydeltään nolla, ei tarkoita, että se olisi mahdotonta; se yksinkertaisesti osoittaa, että äärettömän jatkumon sisällä sen "paino" on merkityksetön. Toisin sanoen ajatus, että "nolla todennäköisyys = ei ole olemassa", ei pidä paikkaansa matematiikassa.

Tästä syntyy toinen, filosofisempi ehdotus: kenties lukuja ei "anneta" täydellisenä äärettömyytenä, vaan pikemminkin Me luomme ne askel askeleelta, edeten rajattomasti, mutta saavuttamatta lopullista äärettömyyttäToisin sanoen, luvut olisivat potentiaalisesti äärettömiä (voimme aina jatkaa 1:n lisäämistä), mutta niistä ei olisi "kokonaissummaa" suljettuna kokonaisuutena.

Tämä kanta liittyy käsitykseen luonnollisista luvuista peräkkäin konstruoituina olioina (0, sitten sen seuraaja, sitten seuraajan seuraaja ja niin edelleen), mikä johtaa meidät kuuluisaan Peanon aksioomat joukko-oppi modernin matematiikan muodollisena perustana.

Tyhjästä nollaan: joukot, tyhjä avaruus ja luonnolliset luvut

Luonnollisten lukujen täsmälliseksi konstruoimiseksi monet 1800-luvun matemaatikot käyttivät yhteistä kieltä: JoukkoteoriaIdea on näennäisesti yksinkertainen: työskentelemme "joukkojen" (kokoelmien) ja "elementtien" (kokoelmiin kuuluvien asioiden) kanssa ja annamme muutamia perusaksioomeja niiden käyttäytymisestä.

Yksi perusaksioomeista on laajennusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat yhtä suuret, jos niissä on täsmälleen samat elementitToinen, spesifikaatio, antaa meille mahdollisuuden muodostaa osajoukkoja ehdon perusteella: annettuna joukko A ja ominaisuus T, on olemassa joukko A:n kaikkien sellaisten alkioiden joukko, jotka toteuttavat T:n.

Näillä työkaluilla voimme määritellä jotakin keskeistä: tyhjä setti, joka on joukko, jossa ei ole alkioita. Se voidaan esittää kaikkien A:n x- tekijöiden joukkona, joille x ≠ x (mahdoton ehto), joten kukaan ei pääse tähän klubiin. Tätä joukkoa kutsutaan yleensä 0:ksi, ja siitä tulee luonnollisten lukujen formaalin konstruktion kulmakivi.

Siitä eteenpäin voimme "nimetä" ensimmäiset luvut tietyiksi joukoiksi: kutsumme tyhjää joukkoa 0:ksi, joukkoa, joka sisältää vain luvun 0, kutsumme 1:ksi, joukkoa, joka sisältää sekä luvun 0 että 1, kutsumme 2:ksi ja niin edelleen. Jokainen luku konstruoidaan joukoksi, joka kerää kaikkiin yllä oleviin numeroihinTämä luonnollisten lukujen koodaustapa (samanlainen kuin Fregen ja myöhemmin von Neumannin ehdotus) mahdollistaa "pienempi kuin" -kertaluvun liittämisen joukkojen sisällyttämiseen.

Jatkaaksemme eteenpäin tarvitsemme yhdisteaksiooman: annetulla joukolla joukkoja on olemassa joukko, joka sisältää kaikki alkiot, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukkoon. Ja määrittelemme myös joukon A seuraaja koska A+ = A ∪ {A}. Eli lisäämme itse joukon uutena elementtinä, mikä antaa meille mahdollisuuden edetä numero numerolta "ylöspäin".

Tämä esittelee käsitteen seuraajajoukkoJoukko S on seuraajajoukko, jos se sisältää alkion 0, ja aina kun se sisältää alkion A, se sisältää myös sen seuraajan A+. Keskeinen aksiooma sanoo, että on olemassa ainakin yksi seuraajajoukko. Jos otamme kaikkien mahdollisten seuraajajoukkojen leikkauspisteen, saamme pienimmän joukon, joka sisältää ne kaikki: juuri tässä kohtaa seuraajajoukko on "sisäkkäin". luonnolliset luvut, ℕ.

Peanon aksioomat: sen varmistaminen, että 1 + 1 = 2 ei ole niin triviaali

Kun olemme tunnistaneet ℕ:n minimaaliseksi joukoksi, joka sisältää nollan ja on persoonaalisesti stabiili, voimme tutkia sen ominaisuuksia. Giuseppe Peano laati 0-luvun lopulla hyvin tiiviin luettelon aksioomista, joka kuvaa luonnollisten lukujen käyttäytymisen ydin.

Tyypillisessä versiossa, alkaen luvusta 1 nollan sijaan, Peanon aksioomat toteavat laajasti ottaen seuraavat asiat: ensinnäkin, 1 on luonnollinen lukuToiseksi, jokaisella luonnollisella luvulla on seuraaja, joka on myös luonnollinen luku. Kolmanneksi, millään luonnollisella luvulla ei ole seuraajanaan 1 (tai toisessa sanamuodossa 0 ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja). Neljänneksi, jos luonnollisten lukujen joukko sisältää 1:n ja on suljettu jonolla, niin se sisältää kaikki luonnolliset luvut: tämä on induktioperiaateViidenneksi, jos kahdella luvulla on sama seuraaja, niin nämä kaksi lukua ovat yhtä suuret.

Nämä aksioomat, vaikka ne vaikuttavat muodollisilta ja hieman kuivilta, kattavat ideoita, joita olemme käyttäneet tiedostamattamme lapsuudesta lähtien. Esimerkiksi induktio antaa meille mahdollisuuden todistaa ominaisuuksia, kuten "kaikki luonnolliset luvut toteuttavat X:n", todistamalla, että X on voimassa ensimmäiselle Ja jos se pitää paikkansa yhden luvun kohdalla, niin se pätee myös sen seuraajaan. Se on eräänlainen looginen dominoefekti.

Näistä aksioomeista johdetaan luonnollisten lukujen perusominaisuudet, kuten se, että Ei ole lukua, jonka seuraaja olisi 0tai että "seuraaja"-operaatio on injektiivinen (jos kahdella luvulla on sama seuraaja, ne ovat sama luku). Ne antavat meille myös mahdollisuuden luonnehtia ℕ:tä ainoaksi joukoksi, joka täyttää tietyt yhdistetyt perimys- ja induktioehdot.

Mielenkiintoisinta on, että tästä loogisesta viitekehyksestä ja seuraajan käsitteestä lähtien voidaan rakentaa täsmällisesti tavalliset aritmeettiset laskutoimituksetyhteen-, kerto- ja potenssilaskuja, ja osoittaa niiden klassiset ominaisuudet (vaihdunnallisuus, assosiatiivisuus, neutraalien alkioiden olemassaolo jne.) vetoamatta "intuitiivisesti se on niin".

Kuinka muodostaa summa, tulo ja potenssit ℕ:n yli

Kun olemme hyväksyneet Peanon aksioomat ja joukko ℕ on hyvin määritelty, voimme kysyä itseltämme: miten tarkalleen määrittelemme laskutoimitukset, kuten yhteenlaskun, pitämättä niitä itsestäänselvyyksinä? Tähän käytämme erittäin tehokasta työkalua: Toistumislause, joka takaa tiettyjen luonnollisilla luvuilla askel askeleelta määriteltyjen funktioiden olemassaolon ja yksikäsitteisyyden.

Ajatus on seuraava: jos meillä on joukko X, alkualkio a joukossa X ja funktio f: X → X, niin lause varmistaa, että on olemassa yksikäsitteinen funktio u: ℕ → X siten, että u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) kaikille luonnollisille luvuille n. Eli voimme konstruoida u soveltamalla f:ää yhä uudelleen ja uudelleen alkaen a:sta, eikä ole kahta erillistä tapaa tehdä se, jotka noudattavat tätä määritelmää.

Soveltamalla tätä ajatusta luonnollisiin lukuihin voimme määritellä kiinteän luvun m summan millä tahansa n:llä. Otamme X = ℕ, a = m ja funktion s: ℕ → ℕ, joka kuvaa jokaisen na:n seuraajaansa n+. Tällöin rekursiolause antaa meille funktion S_m: ℕ → ℕ, missä S_m(0) = m ja S_m(n+) = s(S_m(n)). Tulkitsemme tämän funktion muodossa summa m + nEli määrittelemme S_m(n) = m + n.

Tämän muodollisen määritelmän avulla jostakin niin yleisestä kuin 1 + 1 tulee pieni sovellusten ketju: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Ei ole niin, etteivätkö matemaatikot tietäisi, että 1 + 1 on yhtä kuin 2, vaan he haluavat perustella, miksi aksiomaattisen järjestelmän sisällä tuo yhtäläisyys on väistämätön.

Tästä määritelmästä voidaan todistaa ominaisuuksia, kuten että 0 toimii identtisyysalkiona yhteenlaskussa (m + 0 = my, 0 + m = m kaikilla m), että yhteenlasku on kommutatiivinen (a + b = b + a) ja se on myös assosiatiivinen ((a + b) + c = a + (b + c)). Kaikki nämä todisteet perustuvat induktioperiaatteeseen ja seuraajan käyttäytymiseen.

Tulo määritellään samalla tavalla. Kiinnitetään luku m, otetaan funktio P_m: ℕ → ℕ siten, että P_m(0) = 0 ja P_m(n+) = S_m(P_m(n)). Tulkitaan P_m(n):ksi m × nNäin ollen esimerkiksi 1 × 2 kehitetään muodossa P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Sitten, käyttäen jälleen induktiota, osoitetaan sen ominaisuudet: vaihdannaisuus, assosiatiivisuus ja se, että 1 on tulon identtinen alkio.

Potenssit konstruoidaan ottamalla lisävaihe: määrittelemme E_m: ℕ → ℕ, missä E_m(0) = 1 ja E_m(n+) = P_m(E_m(n)), ja kirjoitamme E_m(n) = m^n. Tästä määritelmästä voidaan saada identiteettejä, kuten m^(n + k) = m^n × m^k, jälleen induktioperiaatteen ja tuotteen jo osoitettujen ominaisuuksien avulla.

Koko tämä prosessi, vaikkakin muodollinen ja jossain määrin tekninen, havainnollistaa, että alkeellisen aritmetiikan rakennelma ei ole "ilmassa", vaan sitä tukevat muutama hyvin selkeä aksiooma ja kourallinen loogisia argumenttejaTästä näkökulmasta luonnollisten lukujen "olemassaolo" tarkoittaa, että on olemassa malli (esimerkiksi tyhjästä joukosta konstruoidut joukot), joka täyttää nämä aksioomat.

Luonnollisista luvuista kokonaislukuihin, rationaali- ja irrationaalilukuihin

Kun luonnolliset luvut on kerran vakiinnutettu, tarina ei lopu siihen. Arkipäivän ja tieteelliset ongelmat pakottavat meidät laajenna tätä numeerista universumiaEsimerkiksi luonnollisista luvuista osaamme vain laskea ja laskea yhteen, mutta emme yleensä vähentää tai jakaa.

Seuraava vaihe on yleensä esitellä numeroeros enteros, jotka sisältävät luonnolliset luvut ja niiden negatiiviset versiot: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Historiallisesti murtoluvut olivat ennen negatiivisia lukuja, mutta formaalista näkökulmasta on kätevää aloittaa kokonaisluvuista. Kokonaisluku voidaan määritellä luonnollisten lukujen parien (a, b) ekvivalenssiluokkana, jossa kahta paria (a, b) ja (c, d) pidetään ekvivalentteina, jos a + d = b + c. Intuitiivisesti tämä vastaa ajattelua "vähennä" luvusta − b, vaikka muodollisesti kyseistä vähennyslaskua ei vielä ole ℕ:n sisällä.

Sitten rationaalisia lukujaNämä vastaavat murtolukuja, jotka olemme aina tunteneet. Niitä käytetään mittaamaan määriä, jotka eivät ole kokonaislukuyksiköitä, kuten puoli kakkua, kolmasosa litraa tai kolme neljäsosaa tunnista. Rationaaliluku esitetään yleensä muodossa a/b, jossa a ja b ovat kokonaislukuja ja b ≠ 0. Muodollisesti jokainen rationaaliluku määritellään parien (a, b) ekvivalenssiluokkana, jossa b ei ole nolla ja jossa kaksi paria (a, b) ja (c, d) ovat ekvivalentteja, jos a·d = b·cEli jos ne edustavat samaa osuutta.

Pythagoralaiset uskoivat, että "kaikki on lukua" siinä mielessä, että "kaikki on rationaalista", mutta tämä näkemys murtui, kun havaittiin, että sivun pituisen 1 neliön lävistäjää (neliöjuuri kahdesta) ei voida kirjoittaa kokonaislukujen murto-osana. Myöhemmin osoitettiin myös, että π ja e ovat irrationaalilukujaEli niitä ei voida ilmaista muodossa a/b, jossa on kokonaisluvut a ja b.

Rakentaakseen tarkasti irrationaalisia lukuja Se on hieman herkempi tapa. Tyylikäs tapa tehdä se on puheluiden kautta. Dedekindin leikkauksetAjatuksena on tarkastella tiettyjä rationaalilukujen osajoukkoja, joilla on tietty yläraja. Voimme esimerkiksi ottaa joukon kaikkia rationaalilukuja, joiden neliö on pienempi kuin 2; sen luonnollinen "leikkaus" on √2, joka ei ole rationaaliluku. Tällä tavoin kutakin sopivaa leikkausta voidaan pitää reaalilukuna, ja jotkut näistä leikkauksista eivät vastaa rationaalilukuja.

Yhdistämällä kaikki rationaaliluvut ja kaikki nämä irrationaalilukuja tuottavat leikkaukset, konstruoimme joukon reaaliluvut, ℝMuodon ℝ sisällä ovat kaikki luvut, joita käytämme jatkuvien suureiden mittaamiseen: pituudet, pinta-alat, ajat, nopeudet jne. Reaalilukuihin ovat edelleen "upotettuina" luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja rationaaliluvut, joilla kullakin on oma erityinen tulkintansa.

Lyhyt katsaus lukujärjestelmien historiaan

Kysymys numeroiden olemassaolosta ei ole pelkästään abstrakti; se heijastuu myös eri kulttuurien historiassa siitä, miten ne ovat oppineet määrien laskeminen ja kirjoittaminenVarhaisimmat todisteet numeroinnista ovat peräisin noin 7000 eaa., ja merkkejä ja luita käytettiin yksinkertaisten lukujen pitämiseen.

Muinaisessa Egyptissä kehitettiin ensimmäisen dynastian aikana hieroglyfinen desimaalilukujärjestelmä. Jokaisella kymmenpotenssilla oli oma symbolinsa, ja ne olivat He ryhmittelivät elementit kymmeniin.Sitä käytettiin käytännön tehtäviin, kuten verojen laskemiseen, peltojen mittaamiseen tai temppelien rakentamiseen.

Mesopotamiassa sumerit ja myöhemmin babylonialaiset käyttivät kuusikymmenjärjestelmää, ts. perusluku 60Sen monimutkaisuus piili symbolien ja mahdollisten yhdistelmien suuressa määrässä, mutta se osoittautui erittäin tehokkaaksi tähtitieteessä ja ajanlaskussa. Itse asiassa käytämme tätä perinnettä edelleen tunteina, minuutteina ja sekunteina.

Kreikkalaiset ottivat egyptiläisen kymmenjärjestelmän viitteeksi ja kehittivät järjestelmän, jossa he käyttivät aakkosten kirjaimet numeroiden esittämiseksiAttic-järjestelmä osoittautui kuitenkin melko jäykäksi ja rajoitti jonkin verran edistyneen aritmetiikan kehitystä, vaikka kreikkalaiset loistivatkin näyttävästi geometriassa ja loogisissa todistuksissa.

Meille tutummassa roomalaisessa järjestelmässä tietyille kirjaimille (I, V, X, L, C, D, M) annettiin numeeriset arvot. Vaikka se on ulkonäöltään yksinkertaisempi kuin muut, Se ei ollut asennonmukaistaTämä teki monimutkaisten laskutoimitusten suorittamisesta erittäin hankalaa. Se sopii muutamaan päivämäärään rakennuksen julkisivussa, mutta ei niinkään algebraan.

Samaan aikaan Intiassa kehittyi desimaali- ja paikkajärjestelmä noin 5. vuosisadalla eaa. Tässä järjestelmässä jokaisen numeron arvo riippuu sen sijainnista, ja kymmenen yhden kertaluvun yksikköä vastaa yhtä seuraavaksi korkeamman kertaluvun yksikköä. Tämä järjestelmä, joka nimenomaisesti sisälsi nolla lukunaSe osoittautui uskomattoman tehokkaaksi ja käytännölliseksi.

Arabit, jotka olivat tekemisissä hindujen, kreikkalaisten ja egyptiläisten kulttuurien kanssa, omaksuivat ja levittivät tätä desimaalinumerojärjestelmää. Vaikka puhumme "arabialaisista numeroista", todellisuudessa Sen alkuperä on IntiassaIslamilaiset kansat levittivät sen Eurooppaan muun muassa Andalusian kautta. Ajan myötä tämä järjestelmä syrjäytti roomalaiset numerot ja siitä tuli maailmanlaajuinen standardi.

Esikolumbiaanisessa Amerikassa maya-sivilisaatio kehitti erittäin kehittyneen numerojärjestelmän, joka perustui 20:een ja myös paikkatietoihin. Lisäksi he tunnistivat nimenomaisesti nollan. He edustivat numeroita yhdistämällä pisteitä ja palkkeja: pisteet yksiköille ja palkit viitosten mukaan ryhmittelyyn. Hänen kalenterin ja tähtitieteen käsittelynsä oli hämmästyttävän tarkkaa.

Tämä historiallinen katsaus vahvistaa ajatusta, että vaikka muodot ja säännöt muuttuvat, Tarve laskea, mitata ja järjestää maailmaa on universaali.Numerot, eri ilmentymissään, näyttävät ilmestyvän yhä uudelleen ja uudelleen aina, kun on sivilisaatio, joka haluaa järjestää ympäristökokemuksensa.

Järjestelmän rajat: Gödel ja usko matematiikkaan

1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa monet matemaatikot pyrkivät tekemään matematiikasta... täysin vankka rakennus, jossa ei ole ristiriitojaAjatuksena oli löytää äärellinen joukko perusaksioomia, joista kaikki muut matemaattiset tulokset voitaisiin johtaa käyttämällä puhdasta logiikkaa.

Henri Poincarén kaltaiset henkilöt suhtautuivat skeptisesti tähän tavoitteeseen ja pitivät sitä saavuttamattomana, kun taas toiset, joita johtivat David HilbertHe olivat varmoja, että täydellinen aksiomaattinen järjestelmä voitaisiin saavuttaa aritmetiikalle ja laajemmin myös muille matematiikan aloille.

Sitten Kurt Gödel ilmestyi ja todisti kaksi lausetta, jotka muuttivat maisemaa ikuisiksi ajoiksi. Ensimmäinen toteaa yksinkertaistaen, että missä tahansa järjestelmässä, joka on riittävän tehokas sisältämään perusaritmetiikan (esimerkiksi Peanon aksioomat) on aina tosia väittämiä, joita ei voida todistaa itse järjestelmän sisällä. Toisin sanoen: aritmetiikka ei voi olla sekä täydellistä että konsistenttia.

Gödelin toinen lause on vieläkin hämmentävämpi: se osoittaa, että jos aksiomaattinen järjestelmä, kuten aritmeettinen järjestelmä, on konsistentti (ei sisällä ristiriitoja), niin Tuota johdonmukaisuutta ei voida osoittaa järjestelmän sisältä käsin.Jos joku todistaisi aritmetiikan aksioomien ja sääntöjen perusteella, ettei siinä ole ristiriitoja, se paradoksaalisesti tarkoittaisi, että järjestelmä ei olisi koherentti.

Näitä johtopäätöksiä on joskus tulkittu eräänlaiseksi "kosmiseksi vitsiksi": jos luotamme niin vahvasti matematiikkaan tiedon perimmäisenä välineenä, meidän on tietyssä mielessä hyväksyttävä, että Meidän on myös uskottava johonkin, mitä emme voi todistaa itse matemaattisten viitekehysten sisältä.Järkevän, ristiriitaisuudettoman aritmeettisen järjestelmän "olemassaolo" vaatii vähintään uskon teon.

Kun yhdistämme koko tämän matkan – symboleista ja Ishangon luusta Egyptin, Babylonin, Intian ja mayojen kautta joukko-oppiin, Peanon aksioomiin, erityyppisten lukujen formaaleihin rakenteisiin ja Gödelin lauseisiin – näemme, että luvut ovat samanaikaisesti ihmisen työkalut ja yllättävän kestävät rakenteetVoimme keskustella siitä, "olemassa" ne abstrakteina kokonaisuuksina vai hienostuneina käytäntöinä, mutta on selvää, että ne muokkaavat ymmärrystämme maailmankaikkeudesta ja jollain tavalla ylittävät meidät: vaikka katoaisimmekin, on vaikea kuvitella kosmosta, jossa 1 + 1 ei enää olisi 2.